Belajar Program Linier (Full Pembahasan)

Pembahasan materi yang akan dibagikan pada postingan ini sebagai berikut.

Daftar Isi

Pengertian Program Linier

Apa itu Program Linier ?

    Suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumberdaya yang terbatas, diantara beberapa aktivitas yang bersaing dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. 

Merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. 

Salah satu model Operations Research yang menggunakan teknik optimisasi matematika linear di mana seluruh fungsi harus berupa fungsi matematika linear.

Formulasi Model Program Linier

• Masalah = Variabel keputusan 
• Keputusan yang sering dihadapi adalah alokasi optimum sumberdaya yang langka.
• Tujuan = Fungsi Tujuan
• Mencapai hasil terbaik yang mungkin dicapai dengan keterbatasan sumberdaya yang ada
• Maksimasi : profit, penjualan, kesejahteraan
• Minimasi : biaya, waktu, jarak
• Sumberdaya = Fungsi Kendala/Pembatas
• Seperti uang, tenaga kerja,bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan, teknologi, dll.

Karakteristik dalam Program Linier

A. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat dan akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai.

Caranya, ajukan pertanyaan :

“Keputusan apa yang harus dibuat agar nilai fungsi tujuan menjadi maksimum atau minimum”

Contoh :

1. Berapa banyak produk harus dikirim dari gudang K ke gudang L agar biaya pengiriman total minimum ?
2. Saham mana yang harus dibeli dan berapa banyak saham harus dibeli agar tingkat kembalian total maksimum ?

Sintaks :

        Variabel Keputusan :

           Xi = definisi masalah

Contoh penulisan variabel keputusan yang BENAR :

       Variabel keputusan :

           X1 = Jumlah air mineral kemasan gelas yang harus dikirim

           X2 = Jumlah air mineral kemasan 500ml yang harus dikirim

           X3 = Jumlah air mineral kemasan 1L yang harus dikirim

Contoh penulisan variabel keputusan yang SALAH: 

        Variabel keputusan : 

            X1 = air mineral kemasan gelas 

            X2 = air mineral kemasan 500ml 

            X3 = air mineral kemasan 1L

B. Fungsi Tujuan 

• Fungsi Tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan (biasanya untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (biasanya untuk ongkos/biaya).
• Dalam program linier, tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linier.

Sintaks :

        Fungsi Tujuan :

            Maksimasi 𝑍 = 𝐶𝑖𝑋𝑖 atau M𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑍 = 𝐶𝑖𝑋𝑖

Contoh :

        Fungsi Tujuan :

            Maksimasi Z = 2X1 + X2 + 9 X3

C. Fungsi Kendala/Pembatas 

Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

Ada tiga macam kendala :

1. Kendala berupa pembatas ( ≤ ) 

Mengendalikan ruas kiri agar tidak lebih besar dari ruas kanannya

2. Kendala berupa syarat ( ≥ ) 

Mengendalikan ruas kiri agar tidak lebih kecil daripada nilai ruas kanannya

3. Kendala berupa keharusan ( = )

Mengendalikan nilai ruas kiri agar nilainya sama dengan nilai ruas kanannya.

Sintaks :

    Fungsi Pembatas :

        𝑋𝑖 = 𝑆𝑖, atau 𝑋𝑖 ≤  𝑆𝑖, atau 𝑋𝑖 ≥ 𝑆𝑖

Contoh :

    Fungsi Pembatas :

        3𝑋1 + 𝑋2 = 70 {persamaan pembatas ke-1}

        X1 + 4X2 ≤ 100 {persamaan pembatas ke-2}

        X2 ≥  6 {persamaan pembatas ke-3}

        X1, X2 ≥  0 {Persamaan pembatas tanda}

Contoh Soal 1 

PT. Sayang anak memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu (boneka kayu & kereta api kayu). Untuk membuat kedua mainan tersebut, diperlukan dua kelompok tenaga kerja (tukang kayu & tukang poles).

Jam kerja yang tersedia :

100 jam/minggu untuk pemolesan

80 jam/minggu untuk pekerjaan kayu

Hasil pengamatan pasar :

Kebutuhan akan Kereta Api tidak terbatas

Kebutuhan Boneka, tidak lebih dari 40 lusin yang terjual setiap minggu

Bagaimanakah formulasi dari persoalan di atas untuk mengetahui berapa lusin setiap jenis mainan masing-masing harus dibuat setiap minggu agar diperoleh keuntungan yang maksimum ?

Identifikasi Variabel Keputusan :

      Variabel keputusan :

         X1 = banyaknya boneka yang dibuat setiap minggu

         X2 = banyaknya kereta api yang dibuat setiap minggu

Identifikasi Fungsi Tujuan

    Diketahui :

        Pendapatan/minggu = 27000 X1 + 21000 X2

        Ongkos material/minggu = 10000 X1 + 9000 X2

        Ongkos tenaga kerja/minggu = 14000 X1 + 10000 X2

    Maka,

    Fungsi tujuan :

      Maksimasi  Z    = (27000 X1 + 21000 X2)-(10000 X1 + 9000 X2)-(14000 X1 + 10000 X2)

                                 = 3000 X1 + 2000 X2

                                 = 3 X1 + 2 X2

Identifikasi Fungsi Pembatas 

Diketahui bahwa :

1. Setiap minggu tidak lebih dari 100 jam waktu pemolesan yang dapat digunakan → 2 X1+X2≤100

2. Setiap minggu tidak lebih dari 80 jam waktu pengerjaan kayu yang dapat digunakan → X1+X2≤ 80

3. Karena permintaan yang terbatas, maka tidak lebih dari 40 lusin boneka yang dapat dibuat setiap minggu. Jumlah material yang dapat digunakan diasumsikan tidak terbatas sehingga tidak ada pembatas untuk hal ini → X1 ≤ 40

Pembatas tanda :

    Kedua variabel keputusan harus berharga positif :

        X1 ≥ 0

        X2 ≥ 0

Identifikasi Fungsi Pembatas 

Maka,

Fungsi Pembatas :

       {Pembatas ke-1} → 2 X1 + X2 ≤ 100

       {Pembatas ke-2} → X1 + X2 ≤ 80

       {Pembatas ke-3} → X1 ≤ 40

       {Pembatas tanda} → X1 ≥ 0

                                          X2 ≥ 0

Formulasi Program Linier Studi Kasus Mainan Kayu

       Variabel Keputusan :

            X1 = banyaknya boneka yang dibuat setiap minggu

            X2 = banyaknya kereta api yang dibuat setiap minggu

       Fungsi Tujuan :

            Maksimasi Z = 3 X1 + 2 X2

            Fungsi Pembatas :

                2 X1 + X2 ≤ 100

                X1 + X2 ≤ 80

                X1 ≤ 40

                X1 ≥ 0

                X2 ≥ 0

Contoh Soal 2

{Diambil dari ebook Hieller-Liberman halaman 25 – 27}

Perusahaan kaca WYNDOR memproduksi kaca dengan kualitas tinggi, termasuk jendela dan pintu.

Perusahaan tesebut mempunyai 3 departemen :

    Departemen 1 : membuat rangka aluminimum dan perkakas logam

    Departemen 2 : membuat rangka kayu

    Departemen 3 : membuat kaca dan merakit sebuah produk

Karena terjadi penurunan pendapatan, maka pihak atasan memutuskan untuk menghentikan produk yang tidak mendatangkan keuntungan & menentukan kapasitas produksi untuk membuat dua produk baru yang dinilai mempunyai potensi pasar tinggi. Produk tersebut adalah :

    Produk 1 : pintu kaca dengan rangka aluminium

    Produk 2 : rangka rangkap jendela dari kayu

Produk 1 membutuhkan proses di Departemen 1 dan 3.

Produk 2 membutuhkan proses di Departmemen 2 dan 3.

Bagian Pemasaran berpendapat bahwa perusahaan dapat menjual setiap produk sebanyak jumlah produk yang dapat diproduksi oleh departemen-departemen tersebut.

Maka perlu menentukan rata-rata produksi kedua produk tersebut supaya keuntungan yang diperoleh dapat maksimal, tetapi disesuaikan dengan kapasitas produksi yang tersedia di tiga departemen yang ada. 

Diasumsikan bahwa tiap produk akan diproduksi dengan satuan batch (20 unit), sehingga rata-rata produksi diartikan sebagai jumlah batch yang dihasilkan tiap minggunya.

Identifikasi yang harus dikumpulkan :

1. Jumlah jam produksi yang tersedia tiap minggu di setiap departemen

2. Jumlah waktu produksi yang digunakan untuk memproduksi setiap batch produk baru di setiap departemen

3. Keuntungan tiap batch produk baru.

Jika diasumsikan :

X1 = jumlah batch produk 1 tiap minggu

X2 = jumlah batch produk 2 tiap minggu

Z = total keuntungan tiap minggu (dalam satuan ribuan dolar) hasil produksi kedua produk.

Data permasalahan Wyndoor Glass Co.

Maka diperoleh persamaan Program Liniernya :

    Variabel keputusan :

        X1 = jumlah produk 1 yang harus diproduksi

        X2 = jumlah produk 2 yang harus diproduksi

    Tujuannya/Fungsi Tujuan :

        Maksimasi Z = 3 X1 + 5 X2

    Pembatas/Batasan :

      {departemen 1} X1 ≤ 4 

      {departemen 2} 2X2 ≤ 12 

      {departemen 3} 3 X1 + 2 X2 ≤ 18 

                                X1 ≥ 0

                                X2 ≥ 0

Penyelesaian Persoalan Program Linier